随机函数

随机函数概述要想使用随机化技巧，前提条件是能够快速生成随机数．本文将介绍生成随机数的常见方法．

随机数与伪随机数说一个单独的数是「随机数」是无意义的，所以以下我们都默认讨论「随机数列」，即使提到「随机数」，指的也是「随机数列中的一个元素」．

现有的计算机的运算过程都是确定性的，因此，仅凭借算法来生成真正 不可预测、不可重复 的随机数列是不可能的．

然而在绝大部分情况下，我们都不需要如此强的随机性，而只需要所生成的数列在统计学上具有随机数列的种种特征（比如均匀分布、互相独立等等）．这样的数列即称为 伪随机数 序列．

随机数与伪随机数在实际生活和算法中的应用举例：

抽样调查时往往只需使用伪随机数．这是因为我们本就只关心统计特征．网络安全中往往要用到（比刚刚提到的伪随机数）更强的随机数．这是因为攻击者可能会利用可预测性做文章．OI/ICPC 中用到的随机算法，基本都只需要伪随机数．这是因为，这些算法往往是 通过引入随机数 来把概率引入复杂度分析，从而降低复杂度．这本质上依然只利用了随机数的统计特征．某些随机算法（例如 Moser 算法）用到了随机数的熵相关的性质，因此必须使用真正的随机数．实现rand用于生成伪随机数，缺点是比较慢，使用时需要 #include．

调用 rand() 函数会返回一个 [0,RAND_MAX] 中的随机非负整数，其中 RAND_MAX 是标准库中的一个宏，在 Linux 系统下 RAND_MAX 等于 231 −1231−1．可以用取模来限制所生成的数的大小．

使用 rand() 需要一个随机数种子，可以使用 srand(seed) 函数来将随机种子更改为 seed，当然不初始化也是可以的．

同一程序使用相同的 seed 两次运行，在同一机器、同一编译器下，随机出的结果将会是相同的．

有一个选择是使用当前系统时间来作为随机种子：srand(time(nullptr))．

Warning 在 Windows 系统下 rand() 返回值的取值范围为 [0,215)[0,215)（即 RAND_MAX 等于 215 −1215−1），当需要生成的数不小于 215215 时建议使用 (rand() << 15 | rand()) 来生成更大的随机数．

关于 rand() 和 rand()%n 的随机性：

C/C++ 标准并未关于 rand() 所生成随机数的任何方面的质量做任何规定．GCC 编译器对 rand() 所采用的实现方式，保证了分布的均匀性等基本性质，但具有 低位周期长度短 等明显缺陷．（例如在笔者的机器上，rand()%2 所生成的序列的周期长约 2 ⋅1062⋅106）即使假设 rand() 是均匀随机的，rand()%n 也不能保证均匀性，因为 [0,n) 中的每个数在 0%n,1%n,...,RAND_MAX%n 中的出现次数可能不相同．预定义随机数生成器定义了数个特别的流行算法．如没有特别说明，均定义于头文件 ．

Warning 预定义随机数生成器仅在于 C++11 标准3中开始使用．

mt19937是一个随机数生成器类，效用同 rand()，随机数的范围同 unsigned int 类型的取值范围．

其优点是随机数质量高（一个表现为，出现循环的周期更长；其他方面也都至少不逊于 rand()），且速度比 rand() 快很多．使用时需要 #include．

mt19937 基于 32 位梅森缠绕器，由松本与西村设计于 1998 年1，使用时用其定义一个随机数生成器即可：std::mt19937 myrand(seed)，seed 可不填，不填 seed 则会使用默认随机种子．

mt19937 重载了 operator ()，需要生成随机数时调用 myrand() 即可返回一个随机数．

另一个类似的生成器是 mt19937_64，基于 64 位梅森缠绕器，由松本与西村设计于 2000 年，使用方式同 mt19937，但随机数范围扩大到了 unsigned long long 类型的取值范围．

代码示例 1

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11#include

#include

#include

using namespace std;

int main() {

mt19937 myrand(time(nullptr));

cout << myrand() << endl;

return 0;

}

minstd_rand0线性同余算法由 Lewis、Goodman 及 Miller 发现于 1969，由 Park 与 Miller 于 1988 采纳为「最小标准」．

计算公式如下，其中 𝐴,𝐶,𝑀A,C,M 为预定义常数．

𝑠𝑖≡𝑠𝑖−1×𝐴+𝐶mod𝑀si≡si−1×A+CmodMminstd_rand() 是较新的「最小标准」，为 Park、Miller 和 Stockmeyer 于 1993 推荐．

对于 minstd_rand0()，𝑠s 的类型取 32 位无符号整数，𝐴A 取 16807，𝐶C 取 0，𝑀M 取 2147483647．

对于 minstd_rand()，𝑠s 的类型取 32 位无符号整数，𝐴A 取 48271，𝐶C 取 0，𝑀M 取 2147483647．

random_shuffle用于随机打乱指定序列．使用时需要 #include．

使用时传入指定区间的首尾指针或迭代器（左闭右开）即可：std::random_shuffle(first, last) 或 std::random_shuffle(first, last, myrand)

内部使用的随机数生成器默认为 rand()．当然也可以传入自定义的随机数生成器．

关于 random_shuffle 的随机性：

C++ 标准中要求 random_shuffle 在所有可能的排列中 等概率 随机选取，但 GCC2编译器 并未 严格执行．GCC 中 random_shuffle 随机性上的缺陷的原因之一，是因为它使用了 rand()%n 这样的写法．如先前所述，这样生成的不是均匀随机的整数．原因之二，是因为 rand() 的值域有限．如果所传入的区间长度超过 RAND_MAX，将存在某些排列 不可能 被产生4．Warning random_shuffle 已于 C++14 标准中被弃用，于 C++17 标准中被移除．

shuffle效用同 random_shuffle．使用时需要 #include．

区别在于必须使用自定义的随机数生成器：std::shuffle(first, last, myrand)．

GCC2实现的 shuffle 符合 C++ 标准的要求，即在所有可能的排列中等概率随机选取．

下面是用 rand() 及 random_shuffle() 编写的一个数据生成器．生成数据为 「ZJOI2012」灾难 的随机小数据．

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19#include

#include

#include

#include

int a[100];

int main() {

srand(time(nullptr));

int n = rand() % 99 + 1;

for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = i;

std::cout << n << '\n';

for (int i = 1; i <= n; i++) {

std::random_shuffle(a + 1, a + i);

int cnt = rand() % i;

for (int j = 1; j <= cnt; j++) std::cout << a[j] << ' ';

std::cout << 0 << '\n';

}

}

下面是用 mt19937 及 shuffle() 编写的同一个数据生成器．

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19#include

#include

#include

#include

int a[100];

int main() {

std::mt19937 rng(time(nullptr));

int n = rng() % 99 + 1;

for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = i;

std::cout << n << '\n';

for (int i = 1; i <= n; i++) {

std::shuffle(a + 1, a + i, rng);

int cnt = rng() % i;

for (int j = 1; j <= cnt; j++) std::cout << a[j] << ' ';

std::cout << 0 << '\n';

}

}

下面是随机排列前十个正整数的一个实现．

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16#include

#include

#include

#include

int main() {

std::vector v = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};

std::random_device rd;

std::mt19937 g(rd());

std::shuffle(v.begin(), v.end(), g);

std::copy(v.begin(), v.end(), std::ostream_iterator(std::cout, " "));

std::cout << "\n";

}

非确定随机数的均匀分布整数随机数生成器random_device 是一个基于硬件的均匀分布随机数生成器，在熵池耗尽 前可以高速生成随机数．该类在 C++11 定义，需要 random 头文件．由于熵池耗尽后性能急剧下降，所以建议用此方法生成 mt19937 等伪随机数的种子，而不是直接生成．

random_device 是非确定的均匀随机位生成器，尽管若不支持非确定随机数生成，则允许实现用伪随机数引擎实现．目前笔者尚未接到报告称 NOIP 评测机不支持基于硬件的均匀分布随机数生成．但出于保守考虑，建议使用该算法生成随机数种子．

参考代码如下．

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19#include

#include

#include

#include

int main() {

std::random_device rd;

std::map hist;

std::uniform_int_distribution dist(0, 9);

for (int n = 0; n < 20000; ++n) {

++hist[dist(rd)]; // 注意：仅用于演示：一旦熵池耗尽，

// 许多 random_device 实现的性能就急剧下滑

// 对于实践使用， random_device 通常仅用于

// 播种类似 mt19937 的伪随机数生成器

}

for (auto p : hist) {

std::cout << p.first << " : " << std::string(p.second / 100, '*') << '\n';

}

}

可能的输出如下．

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100 : ********************

1 : *******************

2 : ********************

3 : ********************

4 : ********************

5 : *******************

6 : ********************

7 : ********************

8 : *******************

9 : ********************

随机数分布这里介绍的是要求生成的随机数按照一定的概率出现，如等概率，伯努利分布，二项分布，几何分布，标准正态（高斯）分布．

具体类名请参见 伪随机数生成——随机数分布 的列表．

实现下面的程序模拟了一个六面体骰子．

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13#include

#include

int main() {

std::random_device rd; // 将用于为随机数引擎获得种子

std::mt19937 gen(rd()); // 以播种标准 mersenne_twister_engine

std::uniform_int_distribution<> dis(1, 6);

for (int n = 0; n < 10; ++n)

// 用 dis 变换 gen 所生成的随机 unsigned int 到 [1, 6] 中的 int

std::cout << dis(gen) << ' ';

std::cout << '\n';

}

其他实现方法有的时候我们需要实现自己的随机数生成器．下面是一些常用的随机数生成方法．

线性同余随机数生成器利用下式来生成随机数序列 {𝑅𝑖}{Ri}：

𝑅𝑖+1=(𝐴×𝑅𝑖+𝐵)mod𝑃Ri+1=(A×Ri+B)modP其中 𝐴,𝐵,𝑃A,B,P 均为常数．

该方法实现难度低，但生成的随机序列周期长度较短（周期最大为 𝑃P，但大多数情况下都会比 𝑃P 短）．

参考实现 1

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23#include

using namespace std;

struct myrand {

int A, B, P, x;

myrand(int A, int B, int P) {

this->A = A;

this->B = B;

this->P = P;

}

// 生成随机序列的下一个随机数

int next() { return x = (A * x + B) % P; }

};

myrand rnd(3, 5, 97); // 初始化一个随机数生成器

int main() {

int x = rnd.next();

cout << x << endl;

return 0;

}

时滞斐波那契随机数生成器利用下式来生成随机数序列 {𝑅𝑖}{Ri}（其中 0 <𝑗 <𝑘0

𝑅𝑖≡𝑅𝑖−𝑗⋆𝑅𝑖−𝑘mod𝑃Ri≡Ri−j⋆Ri−kmodP这里的 𝑃P 通常取 22 的幂（常用 232232 或 264264），⋆⋆ 表示二元运算符，可以使用加法，减法，乘法，异或．

该方法较传统的线性同余随机数生成器而言，拥有更长的周期，但随机性受初始条件影响较大．

参考实现 1

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32#include

#include

using namespace std;

struct myrand {

vector vec;

int l, j, k, cur;

myrand(int l, int j, int k) {

this->l = l;

this->j = j;

this->k = k;

cur = 0;

for (int i = 0; i < l; i++) {

vec.push_back(rand()); // 先用其他方法生成随机序列中的前几个元素

}

}

unsigned next() {

vec[cur] = vec[(cur - j + l) % l] * vec[(cur - k + l) % l];

// 这里用 unsigned 类型是为了实现自动对 2^32 取模

return vec[cur++];

}

};

myrand rnd(11, 4, 7);

int main() {

unsigned x = rnd.next();

cout << x << endl;

return 0;

}

参考资料与注释Mersenne Twister algorithm ↩

版本号为 GCC 9.2.0 ↩↩

伪随机数生成 - cppreference.com ↩

Don't use rand(): a guide to random number generators in C++ ↩

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